Minggu, 17 Mei 2015
pangkat dan akar kuadrat
Bilangan Kuadrat dan Akar Kuadrat
a. Bilangan
kuadrat dengan 5 sebagai angka terakhir
Bilangan 25
adalah bilangan kuadrat dengan 5 sebagai angka terakhir.
Himpunan
bilangan kuadrat dengan 5 sebagai angka terakhir adalah 25, 225, 625, 1225,
2025. Untuk mendapatkan bilangan kuadrat dengan 5 sebagai angka terakhir,
perhatikan pola berikut:
|
5 x 5 = 25
|
||||||
|
15 x 15
|
=
|
1 x 2
|
25
|
=
|
225
|
|
|
25 x 25
|
=
|
2 x 3
|
25
|
=
|
625
|
|
|
35 x 35
|
=
|
3 x 4
|
25
|
=
|
1.225
|
|
|
45 x 45
|
=
|
4 x 5
|
25
|
=
|
2.025
|
|
|
55 x 55
|
=
|
5 x 6
|
25
|
=
|
3.025
|
|
|
65 x 65
|
=
|
6 x 7
|
25
|
=
|
4.225
|
|
|
75 x 75
|
=
|
7 x 8
|
25
|
=
|
5.625
|
|
|
85 x 85
|
=
|
8 x 9
|
25
|
=
|
7.225
|
|
|
95 x 95
|
=
|
9 x 10
|
25
|
=
|
9.025
|
|
b. Akar
kuadrat
Menarik akar
dari suatu bilangan kuadrat sempurna dijelaskan sebagai berikut:
Bilangan 225
disebut bilangan kuadrat sempurna, karena 225 = 152 dan √225 = 15.
Untuk
mendapatkan akar dari suatu bilangan kuadrat sempurna, perhatikan pola berikut:
semua
bilangan dengan angka 0, 1, 4, 5, 6, 9, sebagai angka terakhir akan mempunyai
akar kuadrat dengan angka yang di bawahnya sebagai angka terakhir.
|
Angka
terakhir Bilangan
yang mau
dicari akarnya
|
Angka
terakhir hasil akar
|
||||
|
0
|
0
|
||||
|
1
|
1 dan 9
|
||||
|
4
|
2 dan 8
|
||||
|
5
|
5
|
||||
|
6
|
4 dan 6
|
||||
|
9
|
3 dan 7
|
||||
Contoh:
|
√3969
|
=
|
...?
|
|||
|
bilangan
3969 memiliki angka terakhir “9”
|
|||||
|
Maka akar
kuadratnya memiliki angka terakhir 3 dan 7
|
|||||
|
3969 >
3600 = 602 dan
|
|||||
|
3969 >
4225 = 652 atau 602 < √3969 < 652
|
|||||
|
Karena
akar dari 3969 memiliki angka terakhir 3 atau 7, maka akar kuadratnya 63 atau
67, dan yang paling mungkin adalah 63, jadi √3969 = 63
|
|||||
|
√2601
|
=
|
...?
|
|||
|
Bilangan
2601 memiliki angka terakhir “1”
|
|||||
|
502
= 2500; 552 = 3025;
|
|||||
|
50 < √2601
< 55
|
|||||
|
Maka:
|
|||||
|
Akar
kuadratnya memiliki angka terakhir 1 atau 9, maka nilai yang mungkin adalah
51.
|
|||||
|
Jadi,
√2601 = 51
|
Sabtu, 16 Mei 2015
logaritma
PENGETIAN FUNGSI LOGARITMA.
Fungsi Logaritma adalah fungsi yang peubah bebasnya berupa bentuk logaritma. Fungsi Logaritma adalah Invers dari fungsi eksponen.
Kesetaraan antara sifat-sifat logaritma dan eksponen.
Sifat kesetaraan tersebut dapat melukiskan bahwa grafik fungsi a log x =
y sebagai hasil pencerminan terhadap garis y = x dari grafik fungsi
eksponen y = a (pangkat) x.
Atau Hubungan logaritma dengan eksponen dapat ditulis sebagai berikut :
dengan, a disebut bilangan pokok
b disebut numerus
x disebut hasil logaritma
Bentuk x = a log b dibaca : x adalah logaritma dari b dengan bilangan pokok a. Logaritma dengan bilangan pokok 10 cukup ditulis log saja.
contoh : 10 log 8 cukup ditulis log 8.
adapun untuk mempermudah menyerderhanakan bentuk logaritma terdapat
rumus-rumus, dan berikut adalah rumus untuk menyederhanakan bentuk
logaritma :
Persamaan Logaritma dalam x adalah persamaan yang mengandung fungsi x dibawah tanda logaritma atau fungsi x sebagai bilangan Pokok Suatu Logaritma.
Sifat-sifat yang berlaku pada persamaan logaritma diantaranya adalah sebagai berikut :
PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA.
Pertidaksamaan Logaritma adalah pertidaksamaan yang mengandung fungsi-fungsi logaritma.
penemuan dan penggunaan teorema pytagoras
Menemukan Teorema Pythagoras
Ilustrasi di bawah ini merupakan salah satu pendekatan dalam menemukan Teorema Pythagoras. Dari ilustrasi tersebut, dengan menggunakan pemotongan persegi ungu, kita dapat menyusun persegi ungu dan persegi kuning tepat berhimpit pada persegi hijau. Atau dengan kata lain, luas persegi hijau sama dengan jumlah dari luas persegi kuning dan luas persegi ungu.
Jika kita memisalkan panjang dari kaki-kaki segitiga siku-siku di atas sebagai a dan b, dan panjang dari sisi miringnya sebagai c, maka luas persegi kuning dan luas persegi ungu secara berturut-turut adalah a² dan b². Sedangkan luas persegi yang paling besar, yaitu persegi hijau, adalah c². Sehingga kita dapat menyimpulkan a² + b² = c². Persamaan terakhir inilah yang disebut Teorema Pythagoras.Teorema PythagorasSebagai catatan, teorema tersebut hanya berlaku pada segitiga siku-siku. Sehingga, sebelum menerapkan teorema tersebut, kita harus memastikan bahwa segitiga yang diberikan merupakan segitiga yang siku-siku.
Pada segitiga siku-siku, kuadrat dari panjang sisi miringnya sama dengan jumlah dari kuadrat panjang kaki-kakinya, atau dapat dituliskan a² + b² = c².
Pada pembelajaran SD telah sedikit dikenalkan mengenai penggunaan teorema pytagoras untuk mendapatkan tinggi dari suatu segitiga.
Penggunaan Rumus Teorema Pythagoras pada Bangun Datar
Mencari diagonal bidang pada persegi dan persegi panjang
Kita bisa menggunakan rumus teorema pythagoras untuk mencari bidang
diagonal pada persegi panjang apabila kita telah mengetahui panjang dan
lebarnya. Sementara rumus pythagoras bisa kita gunakan untuk mencari bidang
diagonal pada persegi apabila panjang sisinya telah diketahui. Untuk lebih
jelasnya, simak contoh soal di bawah ini:
Contoh Soal 1
Diketahui sebuah persegi panjang memiliki panjang 20 cm dan lebar 15 cm.
maka berapakah panjang salah satu diagonal pada persegi panjang tersebut?
Pembahasan:
Diagonal = √(panjang2 + lebar2)
Diagonal = √(202 + 152)
Diagonal = √400 + 225
Diagonal = √625
Diagonal = 25 cm
Mencari diagonal layang-layang dan belah ketupat
Rumus
Pythagoras dapat kita gunakan untuk mencari salah satu diagonal pada
layang-layang dan belah ketupat apabila telah diketahui panjang sisi dan salah
satu diagonal sisinya. Coba perhatikan kedua contoh soal berikut:
Contoh Soal 2
Hitunglah
luas dari bangun layang-layang di bawah ini:
Pembahasan:
Karena diagonal EG dan FH berpotongan di titik M, maka kita cari dulu panjang EM:
Karena diagonal EG dan FH berpotongan di titik M, maka kita cari dulu panjang EM:
EM = ½ x EG
EM = ½ x 16
EM = 8 cm
Setelah itu,
gunakan teorema pythagoras untuk mengetahui panjang FM dan HM:
FM = √(EF2
– EM2)
FM = √(152
- 82)
FM = √(225 -
64)
FM = √161
FM = 12,6 cm
HM = √(EH2 – EM2)
HM = √(202 – 82)
HM = √(400 – 64)
HM = √336
HM = √(400 – 64)
HM = √336
HM = 18,3 cm
Panjang diagonal FH adalah:
FH = FM + HM
FH = 12,6 + 18,3
FH = 30,9 cm
Sekarang
kita cari luas dari layang-layang tersebut:
L = ½ x d1 x
d2
L = ½ x EG x
FH
L = ½ x 16 x
30,9
L = ½ x 494,4
L = 247,2 cm2
Contoh Soal 3
Perhatikan
gambar belah ketupat berikut ini:
Apabila
diketahui panjang sisi belah ketupat PQRS adalah 15 cm dan panjang salah satu
diagonalnya adalah 24 cm, Maka berapakah luas dari belah ketupat tersebut?
Pembahasan:
Apabila perpotongan diagonal PR dan QS pada belah ketupat itu ada pada titik X, maka:
PX = ½ x PR
PX = ½ x
24
PX = 12 cm
Sekarang
kita gunakan rumus teorema pythagoras untuk mengetahui panjang QX:
QX = √(PQ2
- PX2)
QX = √(152
- 122)
QX = √(225 -
144)
QX = √81
QX = 9 cm
QS = 2 x QX
QS = 2 x 9
QS = 18 cm
Sekarang
tinggal menghitung luas belah ketupat tersebut:
L = ½ x d1 x
d2
L = ½ x 24 x
18
L = ½ x 432
L = 216 cm2
Mencari tinggi trapesium dan jajar genjang
Untuk mengetahui bagaimana cara menggunakan rumus teorema pythagoras
dalam mencari tinggi dari bangun datar trapesium ataupun jajar genjang, kalian
bisa menyimaknya dalam contoh soal berikut ini:
Contoh Soal 4
Amatilah gambar trapesium berikut ini:
Apabila diketahui panjang sisi PR = 40 cm, RS = 40 cm, dan PQ= 64 cm.
Berapakah luas dari trapesium di atas?
Pembahasan:
Kalian bisa lihat bahwa trapesium tersebut merupakan trapesium sama
kaki maka kita bisa ketahui bahwa panjang PR = QS, panjang PT= UQ dan panjang
RS = TU, sehingga:
Panjang PT = PQ – TU – UQ
Panjang PT = 64 cm – 40 cm – UQ
Karena UQ = PT, maka:
2 x PT= 24 cm
PT = 12 cm
Sekarang kita bisa mencari tinggi trapesium dengan menggunakan teorema
pythagoras seperti berikut ini:
RT = √(PR2– PT2)
RT = √(402 – 122)
RT = √(1600 – 144)
RT = √1456
RT = 38,15 cm
Sekarang kita bisa mencari luas trapesium dengan rumus berikut:
L = ½ x jumlah sisi sejajar x tinggi
L = ½ x (PQ + RS ) x RT
L = ½ x (64 cm + 40 cm) x 38,15 cm
L = ½ x 3967,6
L = 1983,8 cm2
Contoh Soal 5
Hitunglah luas jajar genjang berikut ini:
Pembahasan:
Pertama-tama, kita cari dahulu panjang PT:
PQ = RS
PT + TQ = RS
PT = RS - TQ
PT = 30 - 25
PT = 5 cm
Kemudian kita cari tinggi dari jajar genjang di atas:
ST = √(PS2 – PT2)
ST = √(232 – 52)
ST = √(529 – 25)
ST = √504
ST = 22,4 cm
Barulah bisa kita cari luas dari jajar genjang tersebut:
L = a x t
L = PQ x ST
L = 30 cm x 22,4 cm
L = 673,4 cm2
Kira-kira begitulah cara memahami Rumus Teorema Pythagoras pada Bangun Datar, Contoh Soal dan Pembahasannya. Semoga
saja bisa memberikan pemahaman yang lebih baik kepada kalian untuk bisa
mengerti cara menggunakan rumus teorema pythagoras di dalam beragam
jenis soal yang berkaitan dengan bangun datar.
Langganan:
Postingan (Atom)